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Warum besteht unser Tonsystem aus 12 Tönen pro Oktave?

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Gute Frage. Prinzipiell kann man mit den heutigen elektronischen Mitteln natürlich jeden beliebigen Ton erzeugen und auch beliebige Tonsysteme mit beliebig vielen Tönen innerhalb einer Oktave kreieren. Hier werden wir aber von Grund auf aus der Obertonreihe von "natürlichen" Musikinstrumenten eine Systematik ableiten. Releativ einfach herzustellen sind zum Beispiel Trommel und Panflöte. Wir betrachten hier aber zunächst ein einsaitiges Saiteninstrument ein sogenanntes Monochord, wie es schon die alten Griechen kannten.

Analyse des Oberton-Spektrums

Schallwellen und Resonanzlagen
Zum Einstieg schauen wir uns zunächst die physikalischen Hintergründe der Schwingungen und Tonerzeugung näher an: Prinzipiell gibt es zwei Arten von Wellen: Transversale Welle (Auslenkungen quer zur Ausbreitungsrichtung), und Longitudinale Welle (Auslenkungen längs zur Ausbreitungsrichtung).

Schallwellen sind longitudinale Wellen, die sich z.B. in Luft ausbreiten. Die Schwingungen selbst sind dabei vom Betrag her sinusförmig sich mit der Zeit ändernde Luftdrücke, die sich mit ca. 340 m/s ausbreiten. Als Schallquellen kommen z.B. die Schwingung einer Membran oder Saite infrage. Es gibt prinzipiell drei Möglichkeiten der Enden bzw. Befestigungen eines schwingungsfähigen Systems: Beide Enden sind fest (z.B. Gitarren- oder Klaviersaite, Trommeln), ein Ende ist fest, eins lose (z.B. unten geschlossene Panflöte), beide Enden sind lose (z.B. unten offene Panflöte).

Stabile Resonanzlagen ergeben sich bei jeweils 1, 2, 3, n Maxima. Ein schwingungsfähiges System schwingt letztendlich immer in seinen Resonanzfrequenzen:



Beispiel:
Das schauen wir uns einmal tabellarisch für eine Grundschwingung (1) bis zur 62sten Teilschwingung z.B. bei einer Frequenz von 110 Hz an. Der Begriff Teilschwingung wird hier verwendet, um den Begriff Oberton zu vermeiden. Der erste Oberton entspricht ja bereits dem 2. Teilton (Anzahl Schwingungen gleich zwei) und man kommt mit der Nummerierung schnell durcheinander. In diesem Beispiel geht´s bei einer Grundschwingung (1. Teilton) von 110 Hz (A-Saite auf der Gitarre) los, bei zwei Schwingungen (2. Teilton) bekommen wir 220 Hz bei drei (3. Teilton) 330 Hz usw.

  • In der dritten bis siebten Spalte stehen die Frequenzen jeweils um eine Oktave nach unten oktaviert, bis sie wieder in die Oktave von 110 Hz bis 220 Hz passen.

  • In den hinteren Spalten stehen, neben der Bezeichnung, die Frequenz des Tons in der wohltemperierten Stimmung und die Abweichung in Cent, wobei 100 Cent einem Halbton entsprechen. Abweichungen größer 25 Cent (25% eines Halbtons) sind rot markiert, kleiner gleich 25 Cent ensprechend grün. Die Frequenzen, die bereits aufgeführt wurden, sind grau hinterlegt. Das ist natürlich ein Vorgriff auf das, was wir weiter unten erst erarbeiten werden.

  • Hier setzen wir gerade natürlich Begriffe voraus (Quinte, Quarte, Töne c, d, e, wohltemperierte Stimmung, Cent etc.), die wir erst weiter unten einführen. Dieser Vorgriff sei erlaubt, um aufzuzeigen, dass man aus der Analyse des Obertonspektrums eines schwingungsfähigen Systems allein nicht auf ein System mit einer begrenzten Anzahl von Tönen schließen würde.


Anzahl Schwingungen (Teilton Nr.)Frequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. tiefer3 Okt. tiefer4 Okt. tiefer5 Okt. tieferAbweichung /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall
1110A110.0Prime
2220110.0Oktave
3330165.02.1e164.8Quinte
4440110.0Oktave
5550137.5-13.8des/cis138.6Gr.Terz
6660165.0Quinte
7770192.5-31.2g196.0Kl.Sept.
8880110.0Oktave
9990123.83.5B123.5Gr.Sek.
101100137.5Gr.Terz
111210151.3-49.1es/dis155.6Tritonus
121320165.0Quinte
131430178.840.7f174.6Kl.Sexte
141540192.5Kl.Sept.
151650206.3-12.1as/gis207.7Gr.Sept.
161760110.0Oktave
171870116.95.6Bes*) /Ais116.5Kl. Sek.
181980123.8Gr.Sek.
192090130.6-2.3c130.8Kl.Terz
202200137.5Gr.Terz
212310144.4-28.8d146.8Quarte
222420151.3Tritonus
232530158.127.9es/dis155.6Tritonus
242640165.0Quinte
252750171.9-26.2f 174.6Kl.Sexte
262860178.8Kl.Sexte
272970185.65.8ges/fis185gr.Sexte
283080192.5Kl.Sept.
293190199.429.6g196.0Kl.Sept.
303300206.3Gr.Sept.
313410213.144.6ab/gis207.7Gr.Sept.
323520110.0Oktave
333630113.4-46.1Bes/Ais116.5Kl. Sek.
343740116.9Kl. Sek.
353850120.3-45.3B123.5Gr.Sek.
363960123.8Gr.Sek.
374070127.2-48.5c130.8Kl.Terz
384180130.6Kl.Terz
394290134.142.7c130.8Kl.Terz
404400137.Gr.Terz
414510140.929.0des/cis138.6Gr.Terz
424620144.4Quarte
434730147.811.9d146.8Quarte
444840151.3Quarte
454950154.7-10.2es/dis155.6Tritonus
465060158.1Tritonus
475170161.6-34.3e164.8Quinte
485280165.0Quinte
495390168.437.8e164.8Quinte
505500171.9Quinte
515610175.37.1f174.6Kl.Sexte
525720178.8Kl.Sexte
535830182.2-26.5ges/fis185.0gr.Sexte
545940185.6gr.Sexte
556050189.137.6ges/fis185.0gr.Sexte
566160192.5Kl.Sept.
576270195.9-0.6g196Kl.Sept.
586380199.4Kl.Sept.
596490202.8-41.2as/gis207.7Gr.Sept.
606600206.3Gr.Sept.
616710209.716.5as/gis207.7Gr.Sept.
626820213.1Gr.Sept.
636930216.6-27.3a220Oktave
Tabelle 1

*) Um Verwechslungen zu vermeiden, wird das in den Niederlanden übliche bes statt b für das englische b flat verwendet. Das deutsche h ist zwar soweit eindeutig, wird aber außerhalb des deutschsprachigen Raums oft nicht verstanden. Daher wird hier auch b statt h verwendet.

Beispiel Flageolett-Töne auf der Gitarre:


Auf der Gitarre kann man diese Obertöne (ungefähr bis zum 12.) mit Flageolett-Tönen erzeugen, auf jedem Streich- Blas- und Trommelinstrument gibt´s entsprechende Methoden, um die Obertöne zu spielen. Strenggenommen sind sie die ganze Zeit da. Man dämpft nur die lautere Grundschwingung und andere Obertöne ab, so dass man den gewünschten Oberton besser hört. Die Eigenheiten im Klang eines Instruments entstehen durch Dämpfung und Verstärkung der verschiedenen Obertöne, eine Kunst und Wissenschaft für sich.

Ergebnis:
Wir erkennen hier keine Systematik, die auf eine begrenzte Anzahl von Tönen hindeutet. Jede Frequenz taucht als Vielfaches immer wieder auf, aber es entstehen immer wieder neue Frequenzen und Zwischentöne.

Mehrstufiges Aufeinanderschichten ein und desselben Obertons

Gedankenexperiment:
Wir bauen Tonsysteme entsprechend dem folgenden Gedankenexperiment auf: Wir stimmen die erste Saite auf die Startfrequenz, nehmen jeweils den 1., 2., etc. Oberton, stimmen die nächste Saite auf diesen Oberton (entsprechend herunter transponiert, so dass er wieder in die Oktave passt) und wiederholen diesen Vorgang solange, bis wir wieder zum oktavierten Ausgangston kommen.

Erfolgskriterium:
  • In unser Tonsystem wollen wir nur Töne aufnehmen, deren erste fünf Obertöne wieder innerhalb des Tonsystems liegen, weil diese Obertöne in der Regel am lautesten hörbar sind. So soll ein in sich geschlossenes System entstehen. Die Töne sollen so oktaviert werden, dass sie alle innerhalb einer Oktave liegen.
  • Der Schritt von einem Ton zum nächsten sollte immer gleich erfolgen und schließlich zum oktavierten Grundton führen, damit das Tonsystem unabhängig vom Startton und der Frequenz des Grundtons in sich geschlossen bleibt.

Aufschichtung von geradzahligen (2., 4., etc.) Teilschwingungen
Die geradzahligen (2., 4., etc) Teilschwingungen führen - wie Tabelle 1 zeigt - entweder zur Oktave oder zu bereits betrachteten Frequenzen der ungeradzahligen Teilschwingungen.

Aufschichtung der dritten Teilschwingungen (Quinten) - Pythagoreische Stimmung
Wir nehmen die 3. Teilschwingung (Quinte) und stimmen eine andere Saite auf diesen Ton, nehmen von dieser wieder die dritte Teilschwingung (Quinte) usw. und schauen, wohin uns das führt. Damit wir die Töne alle in einer Oktave versammeln können, transponieren wir sie wieder entsprechend herunter. Die Namen der Töne und Bezeichnungen der Intervalle werden weiter unten eingeführt.

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
110.00a220.0Prime
13330165.02.1e164.8Quinte
2165.0 x 3495.0123.83.5b123.5Große Sekunde
3123.8 x 3371.3185.65.8ges/fis185.0Große Sexte
4185.6 x 3556.9139.27.7des/cis138.6Große Terz
5139.2 x 3417.7208.89.4as/gis207.7Große Septime
6208.8 x 3626.5156.611.3es/dis155.6Tritonus
7156.6 x 3469.9117.514.3Bes/Ais116.5Kleine Sekunde
8117.5 x 3352.4176.215.8f174.6Kleine Sexte
9176.2 x 3528.6132.117.8c130.8Kleine Terz
10132.1 x 3396.4198.219.5g196.0Kleine Septime
11198.2 x 3594.7148.721.9d146.8Quarte
12148.7 x 3446.0223.023.5a220.0Oktave


Und voilà: Nach 12 Schritten kommen wir wieder ungefähr eine Oktave höher bei einer Frequenz von 220 Hz an. Die Stimmung über das Aufschichten von Quinten nennt man pythagoreische Stimmung und die Ungenauigkeit von 223/220 ≈ 1.014 pythagoreisches Komma.

Berechnung: Zum 3. Teilton (Quinte) gelangen wir jeweils durch Multiplikation mit dem Faktor 3. Das haben wir 12 mal getan, also 3^12. Dabei haben wir 18 mal nach unten transponiert, also dividiert durch 2^18. Bei 110 Hz haben wir angefangen und sind dann also bei 110 Hz * 3^12 / 2^18 = 223.00 Hz angelangt. Erwartet hatten wir 2 * 110 Hz = 220 Hz. Das pythagoreische Komma ist also 3^12 / 2^18 / 2 ≈ 1.01364 oder gemäß der Formel und Einheit Cent, die wir weiter unten einführen werden: 23.46 Cent, also ca. ein Viertel-Halbton.

Der Abstand der reinen Quinte vom natürlichen 3. Teilton ist hier per Definition gleich null und die große Terz liegt 1200*ln(139.2 / 137.5)/ln(2) um 21.3 Cent über dem fünften Teilton der Grundschwingung von 110 Hz (siehe oben).

Grün hinterlegt sind die Abweichungen zur wohltemperierten Stimmung in der Einheit Cent, die wir weiter unten einführen werden.
Aufschichtung der fünften Teilschwingungen (große Terzen)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 5. Teilschwingung (4. Oberton: große Terz) fort:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
1100aPrime
1110 x 5550137.5-13.8des/cis138.6Gr. Terz
2137.5 x 5687.5171.9-27.2f174.6Kleine Sexte
3171.9 x 5859.4214.8-41.1a220.0Oktave


Das ergibt ein Tonsystem mit drei Terzen, wobei wir bei der Oktave um -41.1 Cent also fast einen halben Halbton zu tief herauskommen. Der Abstand der großen Terz zum natürlichen 5. Teilton (große Terz) ist per Definition gleich 0.

Aufschichtung der siebten Teilschwingungen (kleine Septimen)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 7. Teilschwingung (6. Oberton: kleine Septime) fort:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer3 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
1100a110Prime
17770.0192.5-31.2g196.0Kleine Septime
2192.5 x 71348168.437.8e164.8Quinte
3168.4 x 71179147.46.9d146.8Quarte
4147.4 x 71032129.0-24.5c130.8Kleine Terz
5129.0 x 7902.7225.744.1a220.0Oktave


Das ergibt ein Tonsystem mit fünf Tönen, wobei wir bei der Oktave um 44.13 Cent also fast einen halben Halbton zu hoch herauskommen. Eine große Terz kommt hier nicht vor.

Aufschichtung der neunten Teilschwingungen (große Sekunden)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 9. Teilschwingung (8. Oberton: große Sekunde) fort:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer3 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
110.00a110Prime
19990.0123.83.5b123.5Gr. Sek.
2123.8 x 91114139.27.7des/cis138.6Große Terz
3139.2 x 91253156.611.3es/dis155.6Tritonus
4156.6 x 91410176.215.8f174.6Kleine Sexte
5176.2 x 91586198.219.5g196.0Kleine Septime
6198.2 x 91784223.023.5a220.0Oktave


Das ergibt ein Tonsystem mit 6 Tönen, das genau die Hälfte der Töne aus dem jeweils vom 3. Teilton aufgebauten pythagoreischen System beinhaltet.

Aufschichtung der 15. Teilschwingungen (große Septimen)
Hier gibt es nochmals eine interessante Variante mit 11 Tönen pro Oktave:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer4 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
1100a11011
1151650206.25-2.6206.610
2206.3 x 153094193.4-5.3194.09
3193.4 x 152900181.3-7.9182.18
4181.3 x 152719169.9-10.6171.07
5169.9 x 152549159.3-13.2160.56
6159.3 x 152390149.4-15.8150.75
7149.4 x 152241140.0-18.5141.54
8140.0 x 152101131.3-21.1132.93
9131.3 x 151969123.1-23.8124.82
10123.1 x 151846115.4-26.4117.21
11115.4 x 151731108.2-29.0a110.0Prime


Das ergibt ein Tonsystem mit 11 Tönen, das dem pythagoreischen System hinsichtlich Wiederholbarkeit das Wasser reichen kann.

*) Die wohltemperierte Stimmung ist diese Mal aus der unten genannen Formel fn=f1 * q^(n-1) mit q=e^(ln(2)/11), d.h. für elf Schritte bis zur Oktave, hergeleitet.

Der Abstand der Quinte (169.9 Hz) vom natürlichen 3. Teilton (165 Hz) liegt bei 1200*ln(169.9/165.0)/ln(2) = 50.7 Cent und der Abstand der Terz (140.0 Hz) vom natürlichen 5. Teilton (137.5 Hz) liegt bei 1200*ln(140.1/137.5)/ln(2) = 31.8 Cent.

13 Töne pro Oktave
Im Obertonspektrum habe ich diese Möglichkeit nicht gefunden. Aber man kann natürlich analog zur unteren Formel fn=f1*q^(n-1) mit q=e^(ln(2)/13) ein System mit 13 Tönen pro Oktave aufbauen:

SchrittFrequenz /[Hz]
110
1116.0
2122.4
3129.1
4136.2
5143.6
6151.5
7159.8
8168.5
9177.4
10187.5
11197.7
12208.6
13220.0


Die Quinte ist hierbei um 1200*ln(168.5/165.0)/ln(2) = 36.3 Cent vom natürlichen 3. Teilton (Quinte) entfernt und die große Terz liegt 1200*ln(136.2/137.5)/ln(2) um -16.5 Cent unter dem fünften Teilton (Terz) der Grundschwingung von 110 Hz.

Résumé

  • Die Betrachtung des Obertonspektrums eines Tons alleine führt führt zu keiner Systematik, die auf eine begrenzte Anzahl von Tönen hindeutet. Jede Frequenz taucht als Vielfaches immer wieder auf, aber es entstehen immer wieder neue Frequenzen und Zwischentöne.
  • Durch die Aufschichtung des jeweils 1., 2, 3., etc. Obertons kann man ein Tonsystem mit einer begrenzten Anzahl von Tönen innerhalb einer Oktave aufbauen. Favorit war und ist der 3. Teilton (2. Oberton: die Quinte). Das daraus aufgebaute Stimmungssystem, die sogenannate pythagoreische Stimmung, enthält 12 Töne. Sie erfüllt das oben genannte Erfolgskriterium, dass wiederholtes gleichartiges Vorgehen wieder zur Oktave führt und zumindest die ersten fünf Obertöne jeweils wieder möglichst in dem Tonsystem liegen, am besten.