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Warum besteht unser Tonsystem aus 12 Tönen pro Oktave?

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Gute Frage. Prinzipiell kann man mit den heutigen elektronischen Mitteln natürlich jeden beliebigen Ton erzeugen und auch beliebige Tonsysteme mit beliebig vielen Tönen innerhalb einer Oktave kreieren. Hier werden wir aber von Grund auf aus der Obertonreihe von "natürlichen" Musikinstrumenten eine Systematik ableiten, wie es frühere Generationen vor uns getan haben. Trommel oder Panflöte z.B. waren schon immer relativ einfach herzustellen. Wir betrachten hier aber zunächst ein einsaitiges Saiteninstrument ein sogenanntes Monochord, wie es schon die alten Griechen kannten.


Analyse des Oberton-Spektrums

Schallwellen und Resonzlagen
Zum Einstieg schauen wir uns zunächst die physikalischen Hintergründe der Schwingungen und Tonerzeugung näher an: Prinzipiell gibt es zwei Arten von Wellen: Transversale Welle (Auslenkungen quer zur Ausbreitungsrichtung), und Longitudinale Welle (Auslenkungen längs zur Ausbreitungsrichtung).

Schallwellen sind longitudinale Wellen, die sich z.B. in Luft ausbreiten. Die Schwingungen selbst sind dabei vom Betrag her sinusförmig sich mit der Zeit ändernde Luftdrücke, die sich mit ca. 340 m/s ausbreiten. Als Schallquellen kommen z.B. die Schwingung einer Membran oder Saite infrage. Es gibt prinzipiell drei Möglichkeiten der Enden bzw. Befestigungen eines schwingungsfähigen Systems: Beide Enden sind fest (z.B. Gitarren- oder Klaviersaite, Trommeln), ein Ende ist fest, eins lose (z.B. unten geschlossene Panflöte), beide Enden sind lose (z.B. unten offene Panflöte).

Stabile Resonanzlagen ergeben sich bei jeweils 1, 2, 3, n Maxima. Ein schwingungsfähiges System schwingt letztendlich immer in seinen Resonanzfrequenzen:



Beispiel:
Das schauen wir uns einmal tabellarisch für eine Grundschwingung (1) bis zur 62sten Teilschwingung z.B. bei einer Frequenz von 110 Hz an. Der Begriff Teilschwingung wird hier verwendet, um den Begriff Oberton zu vermeiden. Der erste Oberton entspricht ja bereits dem 2. Teilton (Anzahl Schwingungen gleich zwei) und man kommt mit der Nummerierung schnell durcheinander. In diesem Beispiel geht´s bei einer Grundschwingung (1. Teilton) von 110 Hz (A-Saite auf der Gitarre) los, bei zwei Schwingungen (2. Teilton) bekommen wir 220 Hz bei drei (3. Teilton) 330 Hz usw.

  • In der dritten bis siebten Spalte stehen die Frequenzen jeweils um eine Oktave nach unten oktaviert, bis sie wieder in die Oktave von 110 Hz bis 220 Hz passen.

  • In den hinteren Spalten stehen, neben der Bezeichnung, die Frequenz des Tons in der wohltemperierten Stimmung und die Abweichung in Cent, wobei 100 Cent einem Halbton entsprechen. Abweichungen größer 25 Cent (25% eines Halbtons) sind rot markiert, kleiner gleich 25 Cent ensprechend grün. Die Frequenzen, die bereits aufgeführt wurden, sind grau hinterlegt.

  • Hier setzen wir gerade natürlich Begriffe voraus (Quinte, Quarte, Töne c, d, e, wohltemperierte Stimmung, Cent etc.), die wir erst weiter unten einführen. Es interessiert hier aber nur, ob man durch die Analyse der Obertöne auf eine begrenzte Anzahl von Tönen kommt, oder nicht.


Anzahl Schwingungen (Teilton Nr.)Frequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. tiefer3 Okt. tiefer4 Okt. tiefer5 Okt. tieferAbweichung /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall
1110a110.0Prime
2220110.0Oktave
3330165.02.1e164.8Quinte
4440110.0Oktave
5550137.5-13.8des/cis138.6Gr.Terz
6660165.0Quinte
7770192.5-31.2g196.0Kl.Sept.
8880110.0Oktave
9990123.83.5b123.5Gr.Sek.
101100137.5Gr.Terz
111210151.3-49.1es/dis155.6Tritonus
121320165.0Quinte
131430178.840.7f174.6Kl.Sexte
141540192.5Kl.Sept.
151650206.3-12.1as/gis207.7Gr.Sept.
161760110.0Oktave
171870116.95.6bes*) /ais116.5Kl. Sek.
181980123.8Gr.Sek.
192090130.6-2.3c130.8Kl.Terz
202200137.5Gr.Terz
212310144.4-28.8d146.8Quarte
222420151.3Tritonus
232530158.127.9es/dis155.6Tritonus
242640165.0Quinte
252750171.9-26.2f 174.6Kl.Sexte
262860178.8Kl.Sexte
272970185.65.8ges/fis185gr.Sexte
283080192.5Kl.Sept.
293190199.429.6g196.0Kl.Sept.
303300206.3Gr.Sept.
313410213.144.6ab/gis207.7Gr.Sept.
323520110.0Oktave
333630113.4-46.1bes/ais116.5Kl. Sek.
343740116.9Kl. Sek.
353850120.3-45.3b123.5Gr.Sek.
363960123.8Gr.Sek.
374070127.2-48.5c130.8Kl.Terz
384180130.6Kl.Terz
394290134.142.7c130.8Kl.Terz
404400137.Gr.Terz
414510140.929.0des/cis138.6Gr.Terz
424620144.4Quarte
434730147.811.9d146.8Quarte
444840151.3Quarte
454950154.7-10.2es/dis155.6Tritonus
465060158.1Tritonus
475170161.6-34.3e164.8Quinte
485280165.0Quinte
495390168.437.8e164.8Quinte
505500171.9Quinte
515610175.37.1f174.6Kl.Sexte
525720178.8Kl.Sexte
535830182.2-26.5ges/fis185.0gr.Sexte
545940185.6gr.Sexte
556050189.137.6ges/fis185.0gr.Sexte
566160192.5Kl.Sept.
576270195.9-0.6g196Kl.Sept.
586380199.4Kl.Sept.
596490202.8-41.2as/gis207.7Gr.Sept.
606600206.3Gr.Sept.
616710209.716.5as/gis207.7Gr.Sept.
626820213.1Gr.Sept.
636930216.6-27.3a220Oktave
Tabelle 1

*) Um Verwechslungen zu vermeiden, wird das in den Niederlanden übliche bes statt b für das englische b flat verwendet. Das deutsche h ist zwar soweit eindeutig, wird aber außerhalb des deutschsprachigen Raums oft nicht verstanden. Daher wird hier auch b statt h verwendet.

Beispiel Flageolett-Töne auf der Gitarre:


Auf der Gitarre kann man diese Obertöne (ungefähr bis zum 12.) mit Flageolett-Tönen erzeugen, auf jedem Streich- Blas- und Trommelinstrument gibt´s entsprechende Methoden, um die Obertöne zu spielen. Strenggenommen sind sie die ganze Zeit da. Man dämpft nur die lautere Grundschwingung und andere Obertöne ab, so dass man den gewünschten Oberton besser hört. Die Eigenheiten im Klang eines Instruments entstehen durch Dämpfung und Verstärkung der verschiedenen Obertöne, eine Kunst und Wissenschaft für sich.

Ergebnis:
Wir erkennen hier keine Systematik, die auf eine begrenzte Anzahl von Tönen hindeutet. Jede Frequenz taucht als Vielfaches immer wieder auf und es entstehen immer wieder neue Frequenzen und Zwischentöne.

Mehrstufiges Aufeinanderschichten ein und desselben Obertons


Gedankenexperiment:
Wir bauen Tonsysteme entsprechend dem folgenden Gedankenexperiment auf: Wir stimmen die erste Saite auf die Startfrequenz, nehmen jeweils den 1., 2., etc. Oberton, stimmen die nächste Saite auf diesen Oberton (entsprechend herunter transponiert, so dass er wieder in die Oktave passt) und wiederholen diesen Vorgang solange, bis wir wieder zum oktavierten Ausgangston kommen.

Erfolgskriterium:
  • Es müssen sich in dem Tonsystem Töne befinden, die möglichst nahe an der natürlichen Quinte (3. Teilton bzw. 2. Oberton) und großen Terz (5. Teilton) des Grundtons liegen, weil diese Obertöne in der Regel am lautesten hörbar sind.

Aufschichtung von geradzahligen (2., 4., etc.) Teilschwingungen
Die geradzahligen (2., 4., etc) Teilschwingungen führen - wie Tabelle 1 zeigt - entweder zur Oktave oder zu bereits betrachteten Frequenzen der ungeradzahligen Teilschwingungen .

Aufschichtung der dritten Teilschwingungen (Quinten) - Pythagoreische Stimmung
Wir nehmen die 3. Teilschwingung (Quinte) und stimmen eine andere Saite auf diesen Ton, nehmen von dieser wieder die dritte Teilschwingung (Quinte) usw. und schauen, wohin uns das führt. Damit wir die Töne alle in einer Oktave versammeln können, transponieren wir sie wieder entsprechend herunter. Die Namen der Töne und Bezeichnungen der Intervalle werden weiter unten eingeführt.

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
110.00a220.0Prime
13330165.02.1e164.8Quinte
2165.0 x 3495.0123.83.5b123.5Große Sekunde
3123.8 x 3371.3185.65.8ges/fis185.0Große Sexte
4185.6 x 3556.9139.27.7des/cis138.6Große Terz
5139.2 x 3417.7208.89.4as/gis207.7Große Septime
6208.8 x 3626.5156.611.3es/dis155.6Tritonus
7156.6 x 3469.9117.514.3bes/ais116.5Kleine Sekunde
8117.5 x 3352.4176.215.8f174.6Kleine Sexte
9176.2 x 3528.6132.117.8c130.8Kleine Terz
10132.1 x 3396.4198.219.5g196.0Kleine Septime
11198.2 x 3594.7148.721.9d146.8Quarte
12148.7 x 3446.0223.023.5a220.0Oktave


Und voilà: Nach 12 Schritten kommen wir wieder ungefähr eine Oktave höher bei einer Frequenz von 220 Hz an, jedenfalls mehr oder weniger. Die Natur hält sich offensichtlich mal wieder nicht exakt an wiederholende Muster. Das kennt man schon z.B. von der Mondumlaufzeit (ca. 27.321 statt einfach 28 Tage für eine Erdumkreisung) und den Erdumlaufzeiten (ca. 365.2421904 statt 365 Tage für eine Sonnenumkreisung). Die Stimmung über das Aufschichten von Quinten nennt man übrigens pythagoreische Stimmung und die Ungenauigkeit von 223/220 ≈ 1.014 pythagoreisches Komma.

Berechnung: Zum 3. Teilton (Quinte) gelangen wir jeweils durch Multiplikation mit dem Faktor 3. Das haben wir 12 mal getan, also 3^12. Dabei haben wir 18 mal nach unten transponiert, also dividiert durch 2^18. Bei 110 Hz haben wir angefangen und sind dann also bei 110 Hz * 3^12 / 2^18 = 223.00 Hz angelangt. Erwartet hatten wir 2 * 110 = 220 Hz. Das pythagoreische Komma ist also 3^12 / 2^18 / 2 ≈ 1.01364 oder gemäß der weiter unten eingeführten Formel und Einheit Cent: 23.46 Cent, also ca. ein Viertel-Halbton.

Der Abstand der reinen Quinte vom natürlichen 3. Teilton ist hier per Definition gleich null und die große Terz liegt 1200*ln(139.2 / 137.5)/ln(2) um 21.3 Cent über dem fünften Teilton der Grundschwingung von 110 Hz (siehe oben).

Aufschichtung der fünften Teilschwingungen (große Terzen)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 5. Teilschwingung (4. Oberton: große Terz) fort:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
1100aPrime
1110 x 5550137.5-13.8des/cis138.6Gr. Terz
2137.5 x 5687.5171.9-27.2f174.6Kleine Sexte
3171.9 x 5859.4214.8-41.1a220.0Oktave


Das ergibt ein Tonsystem mit drei Terzen, wobei wir bei der Oktave um -41.1 Cent also fast einen halben Halbton zu tief herauskommen. Der Abstand der großen Terz zum natürlichen 5. Teilton (große Terz) ist natürlich per Definiion gleich 0.

Aufschichtung der siebten Teilschwingungen (kleine Septimen)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 7. Teilschwingung (6. Oberton: kleine Septime) fort:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer3 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
1100a110Prime
17770.0192.5-31.2g196.0Kleine Septime
2192.5 x 71348168.437.8e164.8Quinte
3168.4 x 71179147.46.9d146.8Quarte
4147.4 x 71032129.0-24.5c130.8Kleine Terz
5129.0 x 7902.7225.744.1a220.0Oktave


Das ergibt ein Tonsystem mit fünf Tönen, wobei wir bei der Oktave um 44.13 Cent also fast einen halben Halbton zu hoch herauskommen. Eine große Terz kommt hier nicht vor.

Aufschichtung der neunten Teilschwingungen (große Sekunden)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 9. Teilschwingung (8. Oberton: große Sekunde) fort:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer3 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
110.00a110Prime
19990.0123.83.5b123.5Gr. Sek.
2123.8 x 91114139.27.7des/cis138.6Große Terz
3139.2 x 91253156.611.3es/dis155.6Tritonus
4156.6 x 91410176.215.8f174.6Kleine Sexte
5176.2 x 91586198.219.5g196.0Kleine Septime
6198.2 x 91784223.023.5a220.0Oktave


Das ergibt ein Tonsystem mit 6 Tönen, das genau die Hälfte der Töne aus dem jeweils vom 3. Teilton aufgebauten pythagoreischen System beinhaltet.

Aufschichtung der 15. Teilschwingungen (große Septimen)
Hier gibt es nochmals eine interessante Variante mit 11 Tönen pro Oktave:

SchrittAnzahl SchwingungenFrequenz /[Hz]1 Okt. tiefer4 Okt. TieferAbweichung z. wohlt. St. /[Cent]Tonwohltemp. /[Hz]Intervall zum Grundton
1100a11011
1151650206.25-2.6206.610
2206.3 x 153094193.4-5.3194.09
3193.4 x 152900181.3-7.9182.18
4181.3 x 152719169.9-10.6171.07
5169.9 x 152549159.3-13.2160.56
6159.3 x 152390149.4-15.8150.75
7149.4 x 152241140.0-18.5141.54
8140.0 x 152101131.3-21.1132.93
9131.3 x 151969123.1-23.8124.82
10123.1 x 151846115.4-26.4117.21
11115.4 x 151731108.2-29.0a110.0Prime


Das ergibt ein Tonsystem mit 11 Tönen, das dem pythagoreischen System hinsichtlich Wiederholbarkeit das Wasser reichen kann.

*) Die wohltemperierte Stimmung ist diese Mal aus der unten genannen Formel fn=f1 * q^(n-1) mit q=e^(ln(2)/11), d.h. für elf Schritte bis zur Oktave, hergeleitet.

Der Abstand der Quinte (169.9 Hz) vom natürlichen 3. Teilton (165 Hz) liegt bei 1200*ln(169.9/165.0)/ln(2) = 50.7 Cent und der Abstand der Terz (140.0 Hz) vom natürlichen 5. Teilton (137.5 Hz) liegt bei 1200*ln(140.1/137.5)/ln(2) = 31.8 Cent.

13 Töne pro Oktave
Im Obertonspektrum habe ich diese Möglichkeit nicht gefunden. Aber man kann natürlich analog zur unteren Formel fn=f1*q^(n-1) mit q=e^(ln(2)/13) ein System mit 13 Tönen pro Oktave aufbauen:

SchrittFrequenz /[Hz]
110
1116.0
2122.4
3129.1
4136.2
5143.6
6151.5
7159.8
8168.5
9177.4
10187.5
11197.7
12208.6
13220.0


Die Quinte ist hierbei um 1200*ln(168.5/165.0)/ln(2) = 36.3 Cent vom natürlichen 3. Teilton (Quinte) entfernt und die große Terz liegt 1200*ln(136.2/137.5)/ln(2) um -16.5 Cent unter dem fünften Teilton (Terz) der Grundschwingung von 110 Hz.

Résumé:
Die pythagoreische Stimmung, also die Stimmung über den jeweils 3. Teilton, erfüllt das oben genannte Erfolgskriterium am besten. Das resultierende Tonsystem mit 12 Tönen wird jetzt noch durch die gleichstufige, wohltemperierte Stimmung "begradigt", indem dafür gesorgt wird, dass das Verhältnis der Frequenzen zweier aufeinander folgender Töne stets gleich ist.


Gleichstufige (wohltemperierte) Stimmung

Wir suchen einen Algorithmus, bei dem das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen (Frequenzen) immer gleich ist und der nach 12 Schritten einen Wert zweimal so groß wie der Anfangswert liefert: Die geometrische Folge.
Es gilt: $$f_n=f_1\bullet\ q^{\left(n-1\right)}$$ $$mit\ q^{12}=2\ also\ q=e^\frac{\ln{\left(2\right)}}{12}=1.05946...$$
Andreas Werckmeister hat diese wohltemperiere Stmmung 1691 eingeführt und so entstand das noch heute verwendete wohltemperierte Klavier von Jahann Sebastian Bach. In tabellarischer Form für ein 88-Tasten-Klavier sieht das so aus und hiermit führen wir auch die offiziellen Namen und Frequenzen der Töne (c, cis, des etc.) ein:

Tastennummer Ton (EN) Ton (DE) Frequenz in Hertz
88C8c54186.01
87B7b43951.07
86A#7/Bb7ais4/bes43729.31
85A7a43520.00
84G#7/Ab7gis4/as43322.44
83G7g43135.96
82F#7/Gb7fis4/ges42959.96
81F7f42793.83
80E7e42637.02
79D#7/Eb7dis4/es42489.02
78D7d42349.32
77C#7/Db7cis4/des42217.46
76C7c42093.00
75B6b31975.53
74A#6/Bb6ais3/bes31864.66
73A6a31760.00
72G#6/Ab6gis3/as31661.22
71G6g31567.98
70F#6/Gb6fis3/ges31479.98
69F6f31396.91
68E6e31318.51
67D#6/Eb6dis3/es31244.51
66D6d31174.66
65C#6/Db6cis3/des31108.73
64C6c31046.50
63B5b2987.767
62A#5/Bb5ais2/bes2932.328
61A5a2880.000
60G#5/Ab5gis2/as2830.609
59G5g2783.991
58F#5/Gb5fis2/ges2739.989
57F5f2698.456
56E5e2659.255
55D#5/Eb5dis2/es2622.254
54D5d2587.330
53C#5/Db5cis2/des2554.365
52C5c2523.251
51B4b1493.883
50A#4/Bb4ais1/bes1466.164
49A4[2]a1 Kammerton440.000
48G#4/Ab4gis1/as1415.305
47G4g1391.995
46F#4/Gb4fis1/ges1369.994
45F4f1349.228
44E4e1329.628
43D#4/Eb4dis1/es1311.127
42D4d1293.665
41C#4/Db4cis1/des1277.183
40C4[3]c1261.626
39B3b246.942
38A#3/Bb3ais/bes233.082
37A3a220.000
36G#3/Ab3gis/as207.652
35G3g195.998
34F#3/Gb3fis/ges184.997
33F3f174.614
32E3e164.814
31D#3/Eb3dis/es155.563
30D3d146.832
29C#3/Db3cis/des138.591
28C3c130.813
27B2B123.471
26A#2/Bb2Ais/Bes116.541
25A2A110.000
24G#2/Ab2Gis/As103.826
23G2G97.9989
22F#2/Gb2Fis/Ges92.4986
21F2F87.3071
20E2E82.4069
19D#2/Eb2Dis/Es77.7817
18D2D73.4162
17C#2/Db2Cis/Des69.2957
16C2C65.4064
15B1B161.7354
14A#1/Bb1Ais1/Bes158.2705
13A1A155.0000
12G#1/Ab1Gis1/As151.9131
11G1G148.9994
10F#1/Gb1Fis1/Ges146.2493
9F1F143.6535
8E1E141.2034
7D#1/Eb1Dis1/Es138.8909
6D1D136.7081
5C#1/Db1Cis1/Des134.6478
4C1C132.7032
3B0B230.8677
2A#0/Bb0Ais2/Bes229.1352
1A0A227.5000

Dabei sei direkt noch die Einheit Cent eingeführt: 100 Cent = 1 Halbton oder 1200 Cent = 1 Oktave. Wenn man also ein Frequenzverhältnis in Cent (C) angeben möchte, rechnet man $$\frac{i}{\left[Cent\right]}=1200\bullet\frac{ln\left(\frac{f_2}{f_1}\right)}{ln\left(2\right)}$$ Das pythagoreische Komma zum Beispiel, also das Frequenzverhältnis 223/220 entspricht damit 23.45 Cent also ca. einem Viertelhalbton.


Résumé

Das Thema Musik ist aus physikalischer Sicht schnell auserzählt:

  • Durch die Aufschichtung des jeweils 1., 2, 3., etc. Obertons kann man ein Tonsystem mit einer begrenzten Anzahl von Tönen innerhalb einer Oktave aufbauen. Favorit war und ist der 3. Teilton (2. Oberton: die Quinte). Das daraus aufgebaute Tonsystem, die sogenannate pythagoreische Stimmung, enthält 12 Töne.

  • Damit alle 12 Intervalle unabhängig vom zu startenden Ton gleich sind, d.h. ihr Frequenzverhältnis gleich ist, wurde die gleichstufige, wohltemperierte Stimmung eingeführt. An die wohltemperierte Stimmung hat sich unser Gehör trotz der Abweichungen zu den natürlichen Obertönen gewöhnt. Diesen Kompromiss muss man eingehen, wenn man sich in verschiedenen Tonarten gleichartig bewegen möchte.

  • Die reine Stimmung ist eine Illusion. Selbst die Quinte ist nicht so rein, dass man aufeinandergeschichtet auf den Strich wieder auf einer Oktave landet. Der einzige Weg zu einer wirklich reinen Stimmung führt zum Spielen von Stücken mit nur einem Ton in verschiedenen Oktaven - viel Vergnügen :-)

  • In diesem Kapitel wurden die Bezeichnungen der Töne (c, cis, des usw.), ihre entsprechenden Frequenzen sowie die Einheit Cent und die Formel für die wohltemperierte Stimmung eingeführt.