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Warum besteht unser Tonsystem aus 12 Tönen

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Gute Frage. Im Prinzip kann man gerade mit den heutigen elektronischen Hilfsmitteln beliebig viele Töne innerhalb einer Oktave erzeugen. Hier versuchen wir ein System von Tönen zu finden, deren Obertöne widerum möglichst nahe an den Tönen des Systems sind. Dazu wird zunächst beschrieben, was Obertöne überhaupt sind und in welcher Form sie bei der klassischen Tonerzeugung natürlicher Instrumente vorkommen. So viel sei vorweggenommen: Es ist nicht möglich, ein System mit endlich vielen Tönen zu finden, deren Obertöne alle exakt wieder in dem Tonsystem liegen. Wir werden aber sehen, dass unser heute verwendetes System mit zwölf Tönen dem Anspruch recht nahe kommt. Eine weitere Forderung ist es, dass das System bei zwei aufeinanderfolgenden Tönen sich stets gleichartig verhält, also dasselbe Tonintervall erergibtn, damit wir innerhalb dieses Tonsystems unabhängig vom Grundton bzw. der Tonart uns bewegen können. Das führt uns zu den sogenannten wohltemperierten Stimmungen, sozusagen der mathematischen Begradigung des Systems.

Schallwellen und Resonanzlagen

Zum Einstieg schauen wir uns zunächst die physikalischen Hintergründe der Schwingungen und Tonerzeugung näher an: Prinzipiell gibt es zwei Arten von Wellen: Transversale Welle (Auslenkungen quer zur Ausbreitungsrichtung), und Longitudinale Welle (Auslenkungen längs zur Ausbreitungsrichtung).

Schallwellen sind longitudinale Wellen, die sich z.B. in Luft ausbreiten. Die Schwingungen selbst sind dabei vom Betrag her sinusförmig sich mit der Zeit ändernde Luftdrücke, die sich mit ca. 340 m/s ausbreiten. Als Schallquellen kommen z.B. die Schwingung einer Membran oder Saite infrage.

Es gibt prinzipiell drei Möglichkeiten der Enden bzw. Befestigungen eines schwingungsfähigen Systems:

Möglichkeit 1
Möglichkeit 2Möglichkeit 3
Beide Enden sind fest (z.B. Gitarren- oder Klaviersaite, Trommeln)
Ein Ende ist fest, eins ist lose (z.B. unten geschlossene Panflöte oder "gedackte" Orgelpfeife)

Beide Enden sind lose (z.B. unten offene Panflöte oder offene Orgelpfeife)




Stabile Resonanzlagen treten bei 1, 2, 3,... Maxima auf, also bei den 1., 2., 3., ... Teiltönen

Stabile Resonanzlagen treten bei 1, 2, 3,... Maxima auf, also bei den ungeradzahligen (1., 3., 5., ...) Teiltönen

Stabile Resonanzlagen treten bei 1, 2, 3,... Maxima auf, also bei den 1., 2., 3., ... Teiltönen

Ein schwingungsfähiges System schwingt letztlich immer in seinen Resonanzlagen. Die Grundschwingung nennt man den 1. Teilton, der erste Oberton entspricht dem 2. Teilton, der zweite Oberton dem 3, Teilton, usw.

Das Oberton-Spektrum

Beispiel Flageolett-Töne auf der Gitarre:


Auf der Gitarre nennt man die Obertöne auch "Flageolett-Töne". Auf jedem Streich- Blas- und Trommelinstrument gibt´s entsprechende Methoden, um die Obertöne zu spielen. Strenggenommen sind sie die ganze Zeit da. Man dämpft nur die lautere Grundschwingung und andere Obertöne ab, so dass man den gewünschten Oberton besser hört. Das ist zum Beipiel das Spektrum der A-Saite (110 Hz) einer Westerngittarre:

Spektrum der A-Saite einer Westerngitarre

Die Eigenheiten im Klang eines Instruments entstehen durch Dämpfung und Verstärkung der verschiedenen Obertöne. Die Lautstärke der Obertöne wird dabei maßgeblich durch Stärke, Art und Position des Anschlags der Saite beeinflusst.

Im folgenden ist das Obertonspektrum einer Grundschwingung von 110 Hz bis zum 32sten Teilton (31. Oberton) nochmals in tabellarischer Form dargestellt. Der Begriff Teilton wird hier verwendet, um den Begriff Oberton zu vermeiden. Der erste Oberton entspricht ja bereits dem 2. Teilton (Anzahl Schwingungen gleich zwei) und man kommt mit der Nummerierung schnell durcheinander. Es geht bei einer Grundschwingung (1. Teilton) von 110 Hz (A-Saite auf der Gitarre) los, bei zwei Schwingungen (2. Teilton) bekommen wir 220 Hz, bei drei (3. Teilton) 330 Hz usw. In der dritten bis siebten Spalte stehen die Frequenzen jeweils um eine Oktave nach unten oktaviert, bis sie wieder in die Oktave von 110 Hz bis 220 Hz passen:

Anzahl Schwingungen
(Teilton Nr.)
Frequenz /[Hz]1 Okt. tiefer2 Okt. tiefer3 Okt. tiefer4 Okt. tiefer5 Okt. tiefer
1 (Grundton) 110
2 (Oktave ) 220110.0
3 (Quinte) 330165.0
4 (Oktave 440110.0
5 (gr. Terz) 550137.5
6 (Quinte) 660165.0
7 (kl. Septime-) 770192.5
8 (Oktave) 880110.0
9 (gr. Sekunde) 990123.8
10 (gr. Terz) 1100137.5
11 (Tritonus-)1210151.3
12 (Quinte) 1320165.0
13 (kl. Sexte+) 1430178.8
14 (kl. Septime-) 1540192.5
15 (gr. Septime) 1650206.3
16 (Oktave) 1760110.0
17 (kl.Sekunde) 1870116.9
18 (gr. Sekunde) 1980123.8
19 (kl. Terz) 2090130.6
20 (gr. Terz) 2200137.5
21 (Quarte) 2310144.4
22 (Tritonus-)2420151.3
23 (Tritonus+) 2530158.1
24 (Quinte) 2640165.0
25 (kl. Sexte-) 2750171.9
26 (kl. Sexte+) 2860178.8
27 (gr. Sexte) 2970185.6
28 (kl. Septime-) 3080192.5
29 (kl. Septime+) 3190199.4
30 (gr. Septime) 3300206.3
31 (gr. Septime+) 3410213.1
32 (Oktave) 3520110.0
Obertonspektrum einer Grundschwingung von 110 Hz


Ergebnis:
  • Innerhalb einer Oktave gibt es in Abhängigkeit der Oktavlage n also 2^n Obertöne, d.h.
    - in der nullten Oktavlage gibt es nur einen Oberton (die Oktave),
    - in der ersten Oktavlage gibt es zwei Obertöne (Quinte und Oktave),
    - in der zweiten Oktavlage gibt es vier Obertöne,
    - in der dritten Oktavlage gibt es acht Obertöne,
    - in der vierten Oktavlage Oktavlage gibt es 16 Obertöne,
    - usw.
  • Das natürlichen Obertonspektrum eines jeden Tons enthält unendlich viele verschiedene Töne.


Mehrstufiges Aufeinanderschichten ein und desselben Obertons

Gedankenexperiment:
Wir bauen Tonsysteme entsprechend dem folgenden Gedankenexperiment auf: Wir stimmen die erste Saite auf die Startfrequenz, nehmen jeweils den 1., 2., etc. Oberton, stimmen die nächste Saite auf diesen Oberton (entsprechend herunter transponiert, so dass er wieder in die Oktave passt) und wiederholen diesen Vorgang solange, bis wir wieder beim oktavierten Ausgangston ankommen.

Erfolgskriterien:
  • Der Schritt von einem Ton zum nächsten soll immer gleich erfolgen und schließlich zum oktavierten Grundton führen.
  • Die Töne dürfen nicht zu weit entfernt von den ersten fünf Teiltönen des Grundtons, also der natürlichen Quinte und großen Terz, liegen, weil diese Töne in der Regel neben dem Grundton am lautesten hörbar sind.
  • Die Obertöne werden so nach unten oktaviert, dass sie innerhalb einer Oktave liegen.

Aufschichtung von geradzahligen (2., 4., etc.) Teiltönen
Die geradzahligen (2., 4., etc) Teilschwingungen führen alle zur Oktave oder zu einem Oktavton eines ungeradzahligen Teiltons, so dass wir diese nicht näher betrachen müssen.

Aufschichtung der dritten Teilschwingungen (Quinten) - Pythagoreische Stimmung
Wir nehmen die 3. Teilschwingung (Quinte) und stimmen eine andere Saite auf diesen Ton, nehmen von dieser wieder die dritte Teilschwingung (Quinte) usw. und schauen, wohin uns das führt. Damit wir die Töne alle in einer Oktave versammeln können, transponieren wir sie wieder entsprechend herunter. Die Namen der Töne und Bezeichnungen der Intervalle werden weiter unten eingeführt.

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
1..2 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 3330.0165.00
2165.0 x 3495.0123.8-0.70
3123.8 x 3371.3185.6
4185.6 x 3556.9139.221.51
5139.2 x 3417.7208.821.09
6208.8 x 3626.5156.6
7156.6 x 3469.9117.5
8117.5 x 3352.4176.2-25.37
9176.2 x 3528.6132.1
10132.1 x 3396.4198.250.72
11198.2 x 3594.7148.7-30.39
12148.7 x 3446.0223.023.46


Und voilà: Nach 12 Schritten kommen wir wieder ungefähr eine Oktave höher bei einer Frequenz von 220 Hz an. Die Stimmung über das Aufschichten von Quinten nennt man pythagoreische Stimmung und die Ungenauigkeit von 223/220 ≈ 1.014 pythagoreisches Komma.

Die Einheit Cent wird weiter unten eingeführt. Das Pythagoreische Komma in Cent beträgt 1200*ln(223/220)/ln(2), sprich 23.46 Cent und entspricht in etwa einem Viertel-Halbton.

Der Abstand zur reinen Quinte ist hier per Definition gleich null und die große Terz liegt 1200*ln(139.2 / 137.5)/ln(2) = 21.51 Cent über dem fünften Teilton der Grundschwingung von 110 Hz.

Um es kurz zu machen: Auf diese Art der Stimmung hat man sich geeinigt. Das Tonsystem mit 12 Tönen wird noch, wie wir später sehen werden, durch die wohltemperierte Stimmung "begradigt", indem man das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Töne gleich setzt.

Aufschichtung der fünften Teilschwingungen (große Terzen)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 5. Teilschwingung (4. Oberton: große Terz) fort:

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
1..2 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 5550.0137.5.00
2137.5 x 5687.5171.970.92
3171.9 x 5859.4214.8-41.41


Das ergibt ein Tonsystem mit drei Terzen, wobei wir bei der Oktave um -41.41 Cent also fast einen halben Halbton zu tief herauskommen. Der Abstand der großen Terz zum natürlichen 5. Teilton (große Terz) ist per Definition gleich 0. Der zweite Ton liegt 70.92 Cent über der Quinte bzw. 68.1 Cent unter der kleinen Sexte.

Aufschichtung der siebten Teilschwingungen (kleine Septimen)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 7. Teilschwingung (6. Oberton: kleine Septime) fort:

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
2..3 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 7770.0192.50
2192.5 x 71348168.435.31
3168.4 x 71179147.4-45.21
4147.4 x 71032129.071.23
5129.0 x 7902.7225.744.28


Das ergibt ein Tonsystem mit fünf Tönen, wobei wir bei der Oktave um 44.28 Cent also fast einen halben Halbton zu hoch herauskommen. Die Abweichung zum dritten Teilton, der Quinte, beträgt 35.31 Cent. Die Abweichungen zum 9. und 11. Teilton beträgt 71.23 Cent und -45.21 Cent.

Aufschichtung der neunten Teilschwingungen (große Sekunden)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 9. Teilschwingung (8. Oberton: große Sekunde) fort:

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
3 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 9990.0123.80
2123.8 x 91114139.221.27
3139.2 x 91253156.659.61
4156.6 x 91410176.2-25.35
5176.2 x 91586198.250.52
6198.2 x 91784223.023.45


Das ergibt ein Tonsystem mit 6 Tönen, das genau die Hälfte der Töne aus dem jeweils vom 3. Teilton aufgebauten pythagoreischen System beinhaltet. Quinte und große Septime fehlen in diesem Tonsystem.

Aufschichtung der elften Teilschwingungen (Quarte+)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 11. Teilschwingung (10. Oberton: Quarte+) fort:

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
3..4 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 111210151.30
2151.3 x 111664208.013.95
3208.0 x 112288143.0
4143.0 x 111573196.636.45
5196.6 x 112163135.2-29.72
6135.2 x 111487185.8
7185.8 x 112044127.8
8127.8 x 111405175.7-30.47
9175.7 x 111933120.8
10120.8 x 111329166.1-42.75
11166.1 x 111827228.411.22
12228.4 x 112512157.0
13157.0 x 111727215.9-32.87


Das ergibt ein Tonsystem mit 13 Tönen, das das Obertonspektrum auch gut, aber nicht so gut wie das pythagoreische Verfahren, abdeckt.

Aufschichtung der dreizehnten Teilschwingungen (kleine Sexte+)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 13. Teilschwingung (12. Oberton: kleine Sexte+) fort:

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
3..4 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 131430178.80
2178.8 x 132324145.2
3145.2 x 131888118.0
4118.0 x 131534191.8-6.72
5191.8 x 132493155.850.75
6155.8 x 132025126.638.56
7126.6 x 131646205.7-4.99
8205.7 x 132674167.122.27
9167.1 x 132173135.8-21.56
10135.8 x 131765220.75.28


Das ergibt ein Tonsystem mit 10 Tönen, das das Obertonspektrum sehr gut, sogar besser als das pythagoreische System, abdeckt. Es fehlen aber die kleine Terz und die große Sexte.

Aufschichtung der fünfzehnten Teilschwingungen (große Septime)
Das Gedankenexperiment führen wir über die jeweils 15. Teilschwingung (14. Oberton: große Septime) fort:

Abweichung [Cent] vom Teilton Nr.:
SchrittNächsterFrequ./
[Hz]
3..4 Okt. tiefer2
(Oktave)
220.0
3
(Quinte)
165.0
5
(gr.Terz)
137.5
7
(kl.Sept.)
192.5
9
(gr.Sek.)
123.8/
11
(Quarte+)
151.3
13
(kl.Sexte+)
178.8
15
(gr.Sept.)
206.3
0110 110.0
1110 x 151650206.30
2206.3 x 153094193.47.71
3193.4 x 152900181.323.79
4181.3 x 152719169.951.12
5169.9 x 152549159.3
6159.3 x 152390149.4-22-28
7149.4 x 152240140.031.57
8140.0 x 152100131.3
9131.3 x 151969123.1-10.19
10123.1 x 151846115.4
11115.4 x 151731216.3-29.04


Das ergibt ein Tonsystem mit 11 Tönen, das das Obertonspektrum gut abbildet. Es fehlt aber die große Sexte und die Quinte liegt einen halben Halbton über dem dritten Teilton.

Résumé

  • Die Betrachtung des Obertonspektrums eines Tons alleine führt zu keiner Systematik, die auf eine begrenzte Anzahl von Tönen hindeutet. Die Anzahl der Obertöne eines Tons steigt exponentiell mit der Oktavlage.
  • Die ungeradzahligen Teiltöne führen immer zu neuen Tönen. Vor allem der 3., 5., 7., 9. 11., 13. und 15. Teilton sind von besonderer Wichtigkeit, da sie bei den meisten Instrumenten gut zu hören sind. Ein Tonsystem sollte also aus Tönen bestehen, die (ensprechend transponiert) nicht zu weit von diesen Teiltönen entfernt liegen, damit das Musizieren nicht zu disharmonisch klingt.
  • Durch die Aufschichtung des jeweils 1., 2., 3., etc. Obertons kann man ein Tonsystem mit einer begrenzten Anzahl von Tönen innerhalb einer Oktave aufbauen. Favorit war und ist der 3. Teilton (2. Oberton: die Quinte). Das daraus aufgebaute Stimmungssystem, die sogenannate pythagoreische Stimmung, enthält 12 Töne, die - verglichen zu den anderen Systemen - recht nahe an den jeweiligen 3., 5., 7., 9., 11., 13. und 15. Teiltönen liegen.