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Zwei- und Mehrklänge

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Zweiklänge

Die mit 12 Tönen innerhalb einer Oktave zu erzeugenden Zweiklänge (Intervalle) sind in der folgenden Tabelle aufgeführt und mit den entsprechenden Intervallbezeichnungen (kleine/große Sekunde etc.) versehen:

Halbtonschritte Bezeichnung des Intervalls Intervall*) (Shortcut) Dissonanzgrad**)
1 kleine Sekunde b9 xxxxxxxxxx
2 große Sekunde 9 xxxxxx
3 kleine Terz m3 oder #9 xxxxx
4 große Terz M3 xxx
5 Quarte 11 x
6 Tritonus #11 oder b5 xxxxxx
7 Quinte 5 x
8 kleine Sexte b13 oder #5 xxx
9 große Sexte 6 oder 13 xxxxx
10 kleine Septime 7 xxxxxx
11 große Septime maj7 xxxxxxxxxx
12 Oktave/Prime

*) Diese Intervall-Shortcuts werden weiter unten eingeführt.

**) Die Darstellung des Dissonanzgrad ist sehr stark vereinfacht. Die sogenannten Komplementärintervalle, also die, die zusammen eine Oktave ergeben, wurden dabei gleichermaßen bewertet, weil sie denselben Abstand zum Grund- bzw. Oktavton haben. Festhalten kann man aber auf jeden Fall, dass die Quarte und Quinte (abgesehen von der Prime/Oktave) am wenigsten dissonant im Vergleich zu allen anderen Intervallen innerhalb einer Oktave klingen.

Die Summe der beiden Komplementärintervalle führen per Definition zur Oktave:

Komplementärintervalle
Kleine Sekunde - Große Septime
Große Sekunde - Kleine Septime
Kleine Terz - Große Sexte
Große Terz - Kleine Sexte
Quarte - Quinte
Tritonus - Tritonus

Dreiklänge

Aus der Anwendung der Kombinatorik wissen wir, dass es insgesamt $$\left(\begin{matrix}12\\3\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}11\\3\\\end{matrix}\right)=\frac{12!}{\left(12-3\right)!}-\frac{11!}{\left(11-3\right)!}=55$$ verschiedene Dreiklänge zu ein und demselben Grundton gibt (12 über 3 abzüglich der 11 über 3, die nicht mit dem Grundton beginnen). Hier sind sie aufgelistet.

Vierklänge

Insgesamt gibt es $$\left(\begin{matrix}12\\4\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}11\\4\\\end{matrix}\right)=\frac{12!}{\left(12-4\right)!}-\frac{11!}{\left(11-4\right)!}=165$$ verschiedene Vierklänge (12 über 4 abzüglich der 11 über 4, die nicht mit dem Grundton beginnen) zu ein und demselben Grundton. Hier sind sie aufgelistet.

Fünf- und Mehrklänge

Insgesamt gibt es gemäß der Formel $$\left(\begin{matrix}12\\n\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}11\\n\\\end{matrix}\right)=\frac{12!}{\left(12-n\right)!}-\frac{11!}{\left(11-n\right)!}$$ 330 verschiedene Fünfklänge, 463 Sechs- und Siebenklänge, 330 Achtklänge, 165 Neunklänge, 55 Zehnklänge, 11 Elfklänge und einen Zwölfklang zu ein und demselben Grundton.

Résumé

  • Die Anwendung der Kombinatorik zur Ermittlung aller möglichen Zwei-, Drei-, Vier- und Mehrklänge bringt uns dem Ziel einer systematischen Einführung einer Harmonielehre nicht näher.

  • Die Anzahl möglicher unterschiedlicher Akkorde (innerhalb einer Oktave) ist durch die Kombinatorik begrenzt. Es gibt
    - 12 Zweiklänge,
    - 55 Dreiklänge,
    - 165 Vierklänge,
    - 330 Fünfklänge,
    - 463 Sechs- und Siebenklänge,
    - 330 Achtklänge,
    - 165 Neunklänge,
    - 55 Zehnklänge und
    - 11 Elfklänge sowie
    - einen Zwölfklang.

  • In diesem Kapitel wurden die Intervallbezeichnungen der 12 möglichen Intervalle (Zweiklänge) eingeführt.